Wassily Kandinsky, Lo Spirituale nell'arte, (Saggi e documenti del Novecento, 8), a cura di Elena Pontiggia, SE, Milano, 1989, p. 89.

E, di fatto, il contenuto di un'opera pittorica non è nelle forme esterne, ma nelle forze-tensioni viventi in queste forme.

Wassily Kandinsky, Punto Linea Superficie. Contributo all'analisi degli elementi pittorici, (Biblioteca Adelphi, 16), trad. di Melisenda Calasso, Adelphi Edizioni, Milano, 1968 ventesima edizione: giugno 2000, p. 28.

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L'arte non ripete le cose visibili, ma rende visibile.

Paul Klee, Confessione creatrice e altri scritti, (Miniature, 31), trad. di Francesco Saba Sardi, Abscondita, Milano, 2004, p. 13.

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La fisica quantistica ci ha costretto ad andare oltre le nostre nozioni abituali di spazio e di tempo. […] Il principio di complementarità dice che le componenti elementari della materia, per esempio gli elettroni, sono entità bifronti: […] ci appaiono ora come grani di materia solida, ora come onde immateriali. […] la complementarità tra lo stato granulare e quello ondulatorio metteva fine per sempre al dualismo cartesiano tra materia e spirito: l'una e l'altro sono elementi complementari di un unica e sola realtà. […] Ne deriva una nuova concezione filosofica che abbiamo battezzato con il nome di metarealismo.

Jean Guitton, Grichtka Bogdanov, Igor Bogdanov, Dio e la scienza. Verso il metarealismo, Bompiani, Milano, 1992, pp. 107-118.

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Oggi siamo alle soglie di una rivoluzione del pensiero, di una rottura epistemologica tale che la filosofia non ha conosciuto nulla di simile da molti secoli. Ci sembra che attraverso la breccia concettuale aperta dalla teoria quantistica, emerga una nuova rappresentazione del mondo, radicalmente altra […] In che cosa si tratta di un nuovo modo di pensare? In quanto elimina le frontiere tra lo spirito e la materia. […] Qualche esempio? […] la complementarità in fisica (secondo cui le particelle o, più precisamente, i fenomeni elementari sono allo stesso tempo corpuscolari e ondulatori). […] le entità elementari […] possono essere una cosa (un'onda) e allo stesso tempo un'altra cosa (una particella). […] prima del 1900 l'idea che ci si faceva della materia era semplice: frantumando un sasso si ottiene polvere; in questa polvere ci sono delle molecole composte di atomi, una sorta di "biglie" di materia che si suppongono indivisibili. […] Siamo così giunti ai primi anni del XX secolo. La teoria quantistica ci dice che per capire la realtà occorre rinunciare alla nozione tradizionale di materia: materia tangibile, concreta, solida.

Jean Guitton, Grichtka Bogdanov, Igor Bogdanov, Dio e la scienza. Verso il metarealismo, Bompiani, Milano, 1992, pp. 5-13.

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Uno dei più antichi gruppi dell'India è quello dei jainisti. La svastica è il loro simbolo. Ma non è esattamente lo stesso simbolo adottato da Hitler. La svastica di Hitler era rovesciata: quella jainista è disposta in senso orario, quella di Hitler in senso antiorario. La svastica orientata in senso antiorario è un simbolo distruttivo. La svastica orientata in senso orario è un grande simbolo creativo.

copyright by Ernesto Riva, "Hitler e la svastica", in Hitler e il Nazismo esoterico, a cura di Veronica Prati, 5^ Edizione 2001, http://www.filosofiaedintorni.net/nazismoesoterico.htm (24/11/2004).

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Così i nuovi sistemi elettronici, quali i transistor, vengono studiati guardando le proprietà magnetiche degli elettroni dovute al loro spin: cioè la direzione di rotazione, che può essere in senso orario, "up", o antiorario, "down".

Internazionale/Scientific American, "Tecnologie: I quanti nel computer" in Mytech - News: Notizie dal mondo, 01/07/2002, http://www.mytech.it/mytech/news/art006010040808.jsp (13/12/2004).

Una valvola di spin controlla la corrente con il magnetismo, sfruttando la proprietà di "ruotare" degli elettroni. Lo spin assume uno dei due valori: "su" o "giù", rendendo l'elettrone magnetico. In una valvola di spin, gli strati di materiale magnetizzato agiscono da filtri, consentendo l'attraversamento solo agli elettroni con uno specifico orientamento (su, per esempio), e bloccando quelli con orientamento opposto (giù). In questo modo l'informazione contenuta negli spin degli elettroni può essere sfruttata per svolgere delle attività computazionali: l'orientamento su/giù degli spin è equivalente alla logica binaria di 1 e 0 utilizzata dai computer.

Philip Ball, "Fisica: Un giro nell’elettronica: Su e giù", in Nature, http://www.enel.it/magazine/boiler/arretrati/boiler87/html/articoli/nature-fisica.asp (13/12/2004).

Per ricavare vantaggi dallo spin, bisogna controllarlo. E qui entrano in gioco i magneti. Inserire gli elettroni in un campo magnetico allinea, o in altre parole polarizza, quella giungla selvaggia che è lo spinning: tutti gli elettroni cominciano a ruotare nella stessa direzione. [...] In un computer normale, ogni bit che attraversa il chip di silicio è composto da molte migliaia di elettroni. Con la spintronica, invece, ogni bit può essere ridotto a un solo elettrone: la direzione del suo spin ne determina il valore "uno" o "zero".

Louise Knapp, "Tecnologia: La rivoluzione della spintronica", in Boiler: giornale di scienza, innovazione e ambiente: Wired News, 08/11/2002, http://magazine.enel.it/boiler/arretrati/111wiredtecnologia.shtml (13/12/2004).

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Cosa sono, dunque, i numeri nel pensiero comune? Dopo aver tolto subito di mezzo l'equivoco (pure molto diffuso) per cui il numero è una parola ("uno, due, tre..."), o un simbolo ("1, 2, 3,..."), osserviamo che, per la maggior parte delle persone i numeri sono le "entità" con cui si "contano" gli oggetti. E in effetti il saper contare è generalmente considerata una abilità comune, posseduta dalla totalità degli individui delle popolazioni civilizzate, anche dagli analfabeti. Naturalmente ci potranno essere persone che non conoscono l'uso dei simboli, o gli algoritmi per effettuare le operazioni, ma ciò non toglie che anche gli strati più incolti di una popolazione sappiano "contare" gli oggetti con cui hanno a che fare, eventualmente aiutandosi con strumenti rozzi di conteggio.
Questo potrebbe far pensare che i numeri siano "innati", così come è innato il fatto di usare la voce per esprimersi o gli arti per muoversi, e che siano presenti nella forma che conosciamo nella mente di ogni essere umano. Questi enti che "servono per contare" appaiono infatti così connaturali all'uomo e al suo pensiero che non a caso sono stati chiamati dai matematici "numeri naturali" […] l'aspetto ordinale del numero […] [è] considerato altrettanto "primitivo" che quello cardinale. Individuare la posizione di un elemento in una sequenza ordinata è una operazione di base, concettualmente distinta da quella di misurare la quantità di un insieme discreto. E per dare alla parola "primitivo" una colorazione antropologica, potremmo ricordare che esistono popolazioni che non usano dare nomi ai figli, e semplicemente usano — in tutte le famiglie — soltanto l'equivalente del nostro "Primo, Secondo, Terzo....".
[…] Usare l'etologia, con grande cautela metodologica, vuol dire capire quali comportamenti numerici presenti negli animali hanno un analogo nell'uomo e sono quindi legati a fatti puramente biologici o genetici. […] La prima considerazione che viene naturale è che all'origine stessa dei tentativi di conteggio fatti dall'uomo, nella sua evoluzione culturale, c'è l'idea di corrispondenza biunivoca […]. Ancor prima di avere elaborato l'idea di numero, e ben prima di averne l'espressione linguistica o grafica, l'uomo riusciva a contare.

L. Alessandrini, G. Bolondi, M. Iannelli, "Il numero: analisi di un nodo concettuale: 2. Senso comune, dizionari, enciclopedie e 3. L'osso del pastore", in Math.Science.Unitn.It, p. 2-7, http://www-math.science.unitn.it/LRM3D2/download/Fascicolo3.pdf (27/12/2004).

Schematismo trascendentale
Per chiarire il collegamento tra intuizione sensibile e intelletto, Kant si avvalse della dottrina dello schematismo, mediante il quale ciascuna intuizione è sussunta sotto la categoria pertinente. Per esempio, lo schema numero non è l’intuizione numerica, ma il presupposto del metodo generativo di un qualunque numero (schematismo del numerare); le immagini numeriche vengono sussunte alla categoria di quantità mediante gli schemi di unità e di successione.

info@guidamaturita.it, "Il linguaggio kantiano: Schematismo trascendentale", in Guida alla maturità: Guide per la maturità: Quaderni della maturità, filosofia, http://www.guidamaturita.it/guide/fil1.htm (31/12/2004).

[…] l'esistenza di significati universali […] come "il rosso" o "il numero due". […] il significato universale […] è puramente un quid (Was) o, come dirà Husserl, a partire dalle Idee, una essenza (Wesen), un eidos. […] L'intuizione delle essenze è per Husserl la radice dell'apriori: […] La logica e la matematica sono costituite di proposizioni a priori, esprimenti rapporti tra essenze.

Angelo Papi, "Logica e teoria della conoscenza", in Edmund Husserl e la fenomenologia (1859-1938), http://www.homolaicus.com/teorici/husserl/husserl.htm (31/12/2004).

Le idee derivano dall'esperienza e precisamente da due fonti:

- senso esterno o sensazione, mediante il quale lo spirito conosce le cose materiali;
- senso interno o riflessione, mediante il quale lo spirito, riflettendo sulle proprie operazioni, conosce i fatti di cui prende coscienza.

Tutte le idee che si trovano nella nostra coscienza, sia che derivino dal senso esterno che dal senso interno, si dividono in due classi: idee semplici ed idee complesse.
Le idee semplici sono quelle che percepiamo attraverso i sensi. Tali idee semplici vengono poi rielaborate in idee complesse. Per esempio: le idee semplici sono le informazioni base che riceviamo da un oggetto, la sua forma, il suo colore, il suo peso; una mela (idea complessa) è l'insieme di un certo numero di idee semplici quali la forma, la polpa succosa, il colore rosso o verde, il sapore caratteristico.
Analogamente esistono qualità primarie e secondarie. Le qualità primarie sono le percezioni oggettive che coincidono con la materia estesa cartesiana: la forma, il numero, il movimento, il peso, l'estensione nello spazio. Le qualità secondarie sono le impressioni soggettive che riceviamo da un oggetto: il sapore, il colore, la consistenza. In particolare, le qualità primarie, oltre ad essere idee, esistono realmente indipendentemente da noi; le qualità secondarie, al contrario, esistono solo come idee elaborate dalla mente.

Marcello Guidotti, "breve cronistoria dell'epistemologia: dal XIII al XVII secolo", in Nemesi.Net, 2003, http://www.nemesi.net/filosofi.htm (31/12/2004).

I bambini mostrano un senso del numero fin da piccolissimi. Passano quella fase, che registra il suo culmine intorno ai quattro anni, che è stata chiamata dallo studioso americano Howard Gardner (H. Gardner, Imparare ad apprendere, Milano, Feltrinelli, 1992, p. 97) del "rilevamento digitale", tendono cioè a contare tutto quanto. I numeri sembrano contribuire a spiegare, in qualche modo, l'essenza delle cose. Non importa che siano rossi o verdi, che abbiano una forma semplice o complessa: conta sapere quanti di quegli elementi ce ne sono.

Paola Gozzi, Annateresa Cancro, "Giochi della conta", in Infantiae.org: La Scuola per posta!, 21/08/2002, http://www.infantiae.org/anderlini210802.htm (27/12/2004).

Le neuroscienze svelano nuove insospettate capacità del cervello umano. Il premio Nobel Pierre-Gilles de Gennes, e la sua équipe al Collège de France di Parigi, hanno scoperto che anche il neonato sa contare. Il professore mostra a un bambino tre mele su un tavolo. Poi ne copre una. Il piccolo, nato da appena un paio di settimane, nota immediatamente il cambiamento e resta molto sorpreso; il suo comportamento muta di colpo. «La reazione principale è che succhia più velocemente dal ciucciotto. Il cervello del neonato è molto più precoce e attivo del previsto», spiega de Gennes. L'esperimento fa crollare una consolidata opinione scientifica perché smentisce Jean Piaget (1896-1980), il grande biologo e psicopedagogista svizzero, il quale affermava categoricamente: «Il neonato non è in grado di contare». Nel XXI secolo, la ricerca scientifica dedicherà le sue energie migliori allo studio del cervello.

Luigi Dell’Aglio, "I neonati? sanno contare fino a tre", in Archivio Rassegna Stampa, @lfa Il Sole 24 Ore, Giugno 2005,
http://www.asl4.liguria.it/ovinternet/Resource/RassegnaStampa/giugno2005/9/alfasole_1.jpg (15/06/2005).

L'uomo è un essere vivente nato per vivere in comunità. È un essere superiore e unico rispetto a tutti gli altri esseri viventi che popolano il nostro pianeta. Ma perchè?: Perchè sa manipolare utensili? Perchè sa usare oggetti elementari per crearne altri più complessi? Perchè sa contare e conosce il concetto di numero e di quantità? […] Molti animali […] hanno il concetto di numero e sanno contare; la capacità elementare di percepire e manipolare i numeri fa parte dell’eredità evolutiva, è cioè qualcosa con cui nasciamo.

Massimo Brescia, "Intelligenza Artificiale: Lezione n. 1: Cervello e sviluppo dell'Intelligenza Artificiale", in Manuali.Net, 2003,
pp. 1-2, http://www.manuali.net/corsionline/lezionitrial/ia_lez1.pdf (27/12/2004).

Un bambino, ad esempio, non possiede il concetto di numero, ma sa dire che certi oggetti sono tre quando è capace di riconoscere che insiemi di oggetti diversi hanno tra loro qualcosa in comune; in tal modo, pur non sapendo ancora contare, impara a contare, stabilendo a poco a poco una equivalenza tra oggetti di insiemi diversi. […] Il "saper contare" è dunque un'abilità che si forma assai presto, prima di conoscere i numeri. […] L'attività del contare nasce dalla capacità di considerare la quantità degli oggetti e non la loro qualità, forma, colore...

Carolina Ardizzone, "Gli insiemi numerici: Storia di N.", in Evoluzione storica di N, http://www.provincia.palermo.it/~istpa071/insieminumerici/pagine%20colorate/evoluzione%20storica%20di%20N.htm (27/12/2004).

Darwin in "Descent of man" (L'origine dell'uomo, 1871) notò che certi animali superiori posseggono capacità come la memoria e l'immaginazione, e oggi è ancor più evidente che le capacità di distinguere il numero, la dimensione, l'ordine e la forma — rudimenti di un istinto matematico — non sono proprietà esclusiva del genere umano. […] In Cecoslovacchia […] è stato trovato un osso di lupo che presenta, profondamente incise, cinquantacinque intaccature. Queste sono disposte in due serie: venticinque nella prima e trenta nella seconda; all'interno di ciascuna serie le intaccature sono distribuite in gruppi di cinque. Tali scoperte archeologiche forniscono una prova del fatto che l'idea di numero è molto più antica di progressi tecnologici quali l'uso dei metalli o la costruzione di veicoli a ruote. Tale idea precede la nascita della civiltà e della scrittura […].

g4, "Quesiti di comprensione verbale e logica", in Universitytest.It, test n. 2, creato 08/05/2003 modificato 29/08/2005, pp. 51-53
http://www.universitytest.it/pdf/quiz/3851-9_quiz.pdf (27/12/2004).

Per molto tempo la parola "numero" si è riferita a quelli che oggi chiamiamo "numeri naturali". Questo tipo di numeri ha origine nel processo del contare, lo si può vedere anche nei bambini che imparano a contare (vedi per esempio Piaget 1952): durante tale apprendimento, c'è uno stadio in cui il bambino è in grado di costruire una corrispondenza biunivoca tra le parole "uno", "due", "tre", ... e gli oggetti di un insieme dato, ma non usa l'ultima parola "contata" per rispondere alla domanda "quanti oggetti ci sono?". Piuttosto in quel caso il bambino, per rispondere alla domanda, ripete il processo di contare. Questo fenomeno mostra chiaramente le origini operative del concetto di numero naturale: per il bambino quando si usa la parola "numero" ci si [riferisce] al processo del contare, non al suo prodotto astratto (il "numero").

Michele Cerulli, "La formazione del concetto di numero", in Mkvale.It: La teoria della reificazione di Anna Sfard (riassuntino): Il ruolo delle concezioni operative e strutturali nella formazione dei concetti matematici, 29/03/2001, http://www.mkvale.it/mk/seminari/sfard/node4.html (27/12/2004).

Secondo il matematico e fisiologo Hermann von Helmholtz l'aritmetica, ovvero la teoria dei numeri «puri», si deve considerare come «un metodo fondato su fatti puramente psicologici». Quando si analizza il processo che sta alla base del contare, il passaggio da un numero al successivo, si scopre — dice Helmholtz — che quel processo si basa su un fatto psicologico, sulla «nostra capacità di conservare nella memoria la successione in cui si sono susseguiti nel tempo atti coscienziali». E continua Helmholtz richiamandosi a Kant, «l'ordinamento nella serie temporale costituisce la forma ineludibile della nostra intuizione interna». Secondo Helmholtz, è questo ordinamento temporale che sta alla base del concetto di numero (ordinale).

La Biblioteca di Repubblica, "Cosa sono i numeri?: La teoria dei numeri puri", in La Scienza: Numeri, figure, logica e intelligenza artificiale, Istituto Geografico De Agostini - UTET, Novara, 2005, vol. XIV, p. 94.

Che cosa sono e cosa devono essere i numeri? si chiede Dedekind fin dal titolo di un suo celebre opuscolo del 1888. La sua risposta è che «i numeri sono libere creazioni del pensiero umano», di cui il matematico studia le proprietà. come per Frege, anche per Dedekind la scienza dei numeri è una parte della logica e si basa sulla capacità della mente umana di «mettere in relazione un oggetto con un oggetto», senza la quale, egli dice, «nessun pensiero è in generale possibile». Per caratterizzare la successione dei numeri naturali, Dedekind prende le mosse dalla nozione primitiva di insieme (di «sistema», con le sue parole) di oggetti e di corrispondenza univoca tra insiemi. Diversi oggetti del pensiero, afferma Dedekind, possono essere associati nella mente a formare un unico sistema e viceversa, a ogni elemento del sistema si può associare in maniera ben determinata un'immagine, un oggetto del pensiero.

La Biblioteca di Repubblica, "Cosa sono i numeri?: Il concetto di numero secondo Dedekind" in La Scienza: Numeri, figure, logica e intelligenza artificiale, Istituto Geografico De Agostini - UTET, Novara, 2005, vol. XIV, p. 97.

Ricerche recenti hanno rivelato che gli esseri umani condividono con altre specie animali un certo senso innato del numero, una capacità primigenia di «contare», se pure limitata a numeri piccoli, uno due, tre e forse quattro.

La Biblioteca di Repubblica, "I numeri e il cervello", in La Scienza: Numeri, figure, logica e intelligenza artificiale, Istituto Geografico De Agostini - UTET, Novara, 2005, vol. XIV, p. 386.

[...] Rispetto ad altre specie animali, tuttavia, l'uomo ha una prodigiosa capacità simbolica, che gli permette di generare la successione dei numeri 1, 2, 3... attraverso un processo iterativo senza termine che sembra fuori dalla portata di qualiasi specie non umana. Ha inoltre la capacità, altrettanto unica e peculiare, di creare un linguaggio per esprimere e comunicare agli altri i pensieri (compresa la capacità di creare un linguaggio matematico). Eppure, prima ancora di far ricorso al linguaggio, anche gli esseri umani hanno capacità numeriche analoghe a quelle di altre specie animali, che sono ereditate dalla storia evolutiva e costituiscono il germe iniziale che consente loro di produrre un livello di elaborazione numerica (e matematica) avanzato.

La Biblioteca di Repubblica, "I numeri e il cervello: Sperimentare sugli animali per capire meglio l'uomo", in La Scienza: Numeri, figure, logica e intelligenza artificiale, Istituto Geografico De Agostini - UTET, Novara, 2005, vol. XIV, p. 392.

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Una delle caratteristiche principali delle cellule neuroniche è il fatto di possedere una carica elettrica.
Solitamente in condizioni di riposo un neurone ha una differenza di potenziale tra la sua parte interna ed esterna di circa –70 millivolt (millesimi di volt). La sua carica diviene positiva quando viene eccitato da altri neuroni vicini e ciò provoca la liberazione di quantità variabili di molecole, dette anche mediatori nervosi o neurotrasmettitori, sintetizzate nei corpi cellulari dei neuroni, dalla membrana che riveste i dendriti verso lo spazio sinaptico. Quest'ultimo rappresenta il piccolissimo spazio libero che si interpone tra due prolungamenti neuronici.

Massimo Brescia, "Intelligenza Artificiale: Lezione n. 1: Cervello e sviluppo dell'Intelligenza Artificiale", in Manuali.Net, 2003, p. 6, http://www.manuali.net/corsionline/lezionitrial/ia_lez1.pdf (27/12/2004).